M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。解析:设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ）0），M的极坐标为（ρ1）0），由题设知总结:曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化.当条件涉及“角度”和“到定点距离”时,引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便.
1.极坐标系与点的极坐标
如图所示,在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
2.极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则极坐标与直角坐标的互化,公式为:
3.简单曲线的极坐标方程
4.求解与极坐标有关问题的主要方法
(1)直接法:直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;
(2)间接法:转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.
极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方法等,还经常用到同乘以(除以)ρ等技巧.
经典例题:
(1)化圆的直角坐标方程x2 y2=r2(r>0)为极坐标方程;
(2)化曲线的极坐标方程ρ=8sin θ为直角坐标方程.
思路分析:利用极坐标、直角坐标转换公式可以把直角坐标方程转化为极坐标方程,也可将极坐标方程转化成直角坐标方程.
解析：(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2 y2=r2(r>0),得ρ2cos2θ ρ2sin2θ=r2,即ρ=r.
所以,以极点为圆心、r为半径的圆的极坐标方程为ρ=r(0≤θ<2π).
总结:确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素:极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.
经典例题:
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。
思路分析：（1）设出点M和点P的极坐标，用代入法求出点P的极坐标，再化为直角坐标方程即可；（2）设出B点的极坐标，根据三角形的面积公式列出△AOB面积的关系式，运用三角函数知识求最值即可。
解析:（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ）0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1）0），由题设知
总结:曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化.当条件涉及“角度”和“到定点距离”时,引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便.
