拨动天空琴弦的三角学[遇见数学创作小组]作者:心如止水(Java程序员善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来)阅读该文章时要结合注释来看为了叙述的完整感，很多拓展内容在注释上半弦表天文学的发展对精确的制图提出了要求，人。
[遇见数学创作小组] 作者: 心如止水(Java程序员。善于把复杂的数学知识，简洁易懂地表达出来)
阅读该文章时要结合注释来看。为了叙述的完整感，很多拓展内容在注释上。
半弦表天文学的发展对精确的制图提出了要求，人类对角的认识也从定性开始走向定量。
研究角度和长度之间的关系，其实就是在研究函数，所以用的办法也和之前谈过的乘法、对数是一样的：直接编一个表。
最早的时候托勒密用的就是弦长，不过后来这个表被印度数学家改良了，从“弦长表”改良成了“半弦表”，因为如果要用这个表解任意三角形的话，“半弦”明显比“弦”好用很多，就是在这张表中角的“半弦”也被叫做“正弦”，其余角的“半弦”就叫做“余弦”。[1]
后来，印度人的半弦表经阿拉伯人之手又传回了欧洲[2]，被翻译为希腊文 "sinus(sin)"，意为“海湾”，所以在东方人的意识中正弦是“弓弦”，而在西方人的意识中则是“海湾”， "co" 在拉丁语里有“联合”的意思，所以 "co-sinus(cos)" 就是“余弦”。
▲ 虹湾(Sinus Iridum)是月球上西北侧的一处撞击坑
日晷和测量金字塔的高度，都是利用了直角三角形的直角边，最初直角边之间的关系就是用拉丁文“阴影”命名的，随着数学的继续发展，概念也从具象走向抽象，15世纪之后开始用 tangere(tan) 来描述了，这个词在拉丁文中是“接触”的意思，而中国人把 "tan" 翻译为“正切”。这是显然是从线与圆的关系上来看的，"tan" 所在的直线和圆正好相切。
从具象到抽象奥地利雷蒂库斯(G. J. Rheticus,1514—1574)，一改过去用弧与弦来讨论，使用直角三角形斜边与对边的比来定义角函数[6]，编制了每隔 10" 的角函数表。计算机普及之前，角函数表一直都是数学家手中必不可少的重要工具。
▲ 国内曾出版的精度为8位三角函数值表
不过这种定义方法有缺陷：定义在直角三角形上，钝角的情况就不存在了，另外从这个角度上理解，我们似乎很难对它的含义作进一步的探究。[3]
随着解析几何的发展，人们发现如果在单位圆上定义，那么角函数可以用圆和三角形的线段，或者坐标之比来表示。[5]
钝角三角形的问题也就迎刃而解了，因为可以把高作在负轴上；这种定义方法也使角从静态走向动态，负角就出现了，从坐标系上来看顺时针转动是角度减少，反之，逆时针则是角度增加。[4]
把这样得到的 x 和 y 记录下来，可以画出图像；从动态旋转的角度来看，角度是可以突破 360°的，无需限制函数的定义域，所以优角就出现了。由于角度本身是有周期的，所以函数图像也是有周期的。
这么一放，就会观察到 sin 和 cos 其实就是“二维世界的点，在一维世界上的投影”。这就很容易理解 sin 和 cos 的图像形状是“尖尖”的，因为他们相当于“把圆看扁了”；生活经验也会告诉我们，从投影的角度看圆周运动就是忽快忽慢的。
从几何意义上可看出：
● sin 和 cos 的值域是 [-1,1]，而 tan 的是整个实数集 。因为 tan 是斜率，所以垂直时不存在，定义域为
● 另外，能够一眼就看出函数值的符号：因为 sin 其实就是 y，所以在角坐标上半边时结果是正的；cos 就是 x，所以在右半边是正的；tan是 sinα/cosα， 所以“同增异减”，在第一和第三象限是正的。
角函数的应用角函数还可以看做“解旋”[7]的过程：把旋转拆分为平移。
所以，会在物理的运动分析上见到它，因为它可以把复杂的曲线运动分解为简单的直线运动；你也会在受力分析上见到他，可以把平面上的任何力都分解成垂直于平行的两个力之和(也叫“向量的平行四边形法则”)。
还可以意识到，描述平面上任意一点，直角坐标和角度 长度其实是等价的，这两种形式的桥梁就是角函数。
在描述旋转(曲线)的时候，直接用旋转的量角度(弧度)，比用平移的量(直角坐标)要简洁方便的多，所以我们就多了一种描述曲线的方法，现在可以哪种方便用哪种，所以在雷达屏幕上你可以见到“极坐标”。
再举两个例子，用极坐标方程 y=1表示圆，而用 y=e^(aθ) 表示螺线：
当然向量和复数也都可以用这两种坐标来表示，他们的两种表示形式都可以用角函数进行变换。
三角形与圆你会发现，大量的概念都和直角三角形扯上了关系，直角三角形为啥总是出现？
如果从转动的角度来说直角三角形其实是简洁的，而任意三角形是复杂的。
➣ 为什么这样讲呢？
重新来看角和圆的定义(上一篇中谈过)，如果转动的时线段长度是可变的，那么最后形成的东西就是“任意三角形”了，对应乱乱的轨迹和无序；反之，产生的东西就是“等腰三角形”，对应的是优美的圆弧与有序。
为了计算的方便，我们把“等腰三角形”一份两半，形成“直角三角形”，同时也把圆弧和全弦一分两半，形成“半弦”(正弦)。
直角三角形本来就是圆的一部分(都是有序转动产生的)，只要一旦把角放到直角三角形，就可以化无序为有序，就意味着一下子多了非常多的已知条件，依靠直角三角形往往能让问题的解答简洁优美，有助于问题的解决。
把三角形的任意角，放到直角三角形中是非常简单的，只要作顶点到底边的垂线即可。
从这个角度上来讲：“作高”的过程，其实就是在“作弦”，时光倒流，把原本乱乱的运动变成简洁的运动。所以直角三角形总是这么频繁的出现。
总结注释
- 角函数的发展也是从具象到抽象的过程：
- 定性 → 弦长表 → 半弦表 → 定义在直角三角形上(角函数表) → 定义在直角坐标系上
- 角函数是旋转和平移之间的桥梁。sin 和 cos 的作用是解旋，tan是斜率。
- 直角三角形是在旋转中充当了有序和无序之间的桥梁。
[1] 弦长表是希腊天文学家 Hipparchus 首创的，其作品已失传，事迹记录于托勒密的《天文学大成》一书。如果不知道“正弦”先后有两个意思，就难以理解“正弦”与“圆”的关系。“遇见数学”翻译过一篇文章，作者说“正弦”和“圆”的关系是巧合，也许作者对这段数学史没有了解。
[2] 阿拉伯是东西方的信使，托勒密的弦长表是 60进制的，因为那时只有60进制才能表示小数。印度人的发明的10进制也是阿拉伯人传到西方的，所以也叫做“阿拉伯数字”，其实阿拉伯人只是个翻译。
[3] 用斜边和对边之比定义角函数的源头就在于此。从名称上来看并不利于记忆，和“弦”、“割”及“切”的具象定义无关；其次，从定量上看不及单位圆和坐标系。可以用联想法辅助记忆。
[4] 在几何作图中我们往往默认长度是正数，也就是“单向数轴”。如果接受“长度也可以是负数”，也就是“数轴”的概念，那么就钝角的问题就解决了，角度也可以为负。
另外，在寻找复数的过程中，最关键的就从几何上解释 √-1，笛卡尔作为坐标系发明人，也没有意识到“数平面”的概念，结果寻找复数的努力失败了。
但是有一个人却极其接近成功，因为他发现如果 √-1 是存在的，那么做出来的线段应该是在“上方”，这就暗示了“数平面”的存在。可惜这个概念实在是太过抽象，复数的发现最终与他擦肩而过，这个荣誉最后被高斯获得，“数平面”也被命名为“高斯平面”。
[5] 定义在直角坐标系和单位圆上的角函数，曾出现过 12 种，目前最常用的有 6 种，剩下的 3 种没有介绍是因为与sin/cos/tan互为倒数，他们分别是 ：csc余割，sec正割，ctg余切。除非计算中经常使用，就不用符号表示，直接使用倒数表示。我找到了一张图，也许包含了12种吧，不常用的那些我没有仔细看，似乎有一些的名称统一性还挺差。
[6] 叫做“角函数”而不叫做“三角函数”是为了响应克莱因的建议。
在开始之前，我要说明用角函数这个名称似乎比习惯上用的三角函数要好，因为三角学只是这些函数的一个特殊应用。它们本身与指数函数相类似，但其中的反函数又类似对数函数。我们称这些反函数为测圆函数。 —— 《高观点下的初等数学》
[7] “解旋”一词借鉴于生物学中的“DNA解旋”，我认为这个词用来解释 sin 的意义是简洁而恰当的。
参考资料[1] https://oikofuge.com/names-trigonometric-functions/ (图2、注释图1)[2]《数学符号史》[3]《数学史》[4]《数学史通论》[5]Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002 ISBN 0-691-09541-8. (注释图2)[6]《三角函数超入门》(注释图3)[7]《虚数的故事》(注释图4)[8] https://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif (图6)[9] http://www.sohu.com/a/280452745_372482 (图7)[10]《图解数学学习法》
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