标上整数、分数、乃至全体有理数，都是很容易的，而且标有理数的点密密麻麻。然而，A中没有最大数，B中也没有最小数的情况，在有理数的分割中是很有可能发生的。譬如：所有那些平方大于2的正有理数组成B集，其余的有理数组成A集。如果分割不产生空隙，那么它就是一个有理数；如果产生空隙，那么它就是一个无理数，实数正好包括有理数和无理数，实数也是连续的。
数轴这一个重要的数学模型相传是笛卡尔发明的，它将数和形完美地结合和统一起来。数轴的定义，我们并不陌生。在中学教材中，数轴被定义为规定了原点（origin），正方向和单位长度的直线叫数轴。原点、单位长度、正方向是数轴的三要素。
一般地，我们画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点，Origin），选取某一长度作为单位长度（unitlength），规定直线上向右的方向为正方向（positivedirection）。这条直线上的点和实数对应，从原点出发朝正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，而原点对应数零，离原点一个单位长度处的两个点分别对应 l和-1。每一点所对应的数的绝对值等于它到原点的距离。
1． 数轴分割问题
我们可曾想过：直线是连续的、"天衣无缝"的吗？全体实数也是连续的、"亲密无间"的吗？或者说，直线上的点如何一个紧挨一个？全体实数又怎样一个接着一个而一统天下？
直线的连绵不断似乎可以找到直观的感觉作为依据。设想用一把锋利的刀，砍向直线，必然会砍在直线的某一点P上。不然，直线上就会出现缝隙。现在的问题是，以P点为界轨直线为两截，P点必然居于其中的一截。这样一来，直线的连续性可以依赖于一个简单而又直观的事实：无论从何处斩断直线，总有一个"断点"。
然而，实数的连续性却不那么直观。为此我们亲自来建立一条数轴，也就是说，我们将实数在直线上标明出来。标上整数、分数、乃至全体有理数，都是很容易的，而且标有理数的点密密麻麻。如果这时我们考虑直线被斩断，就会把这些有理点分成较大与较小的两部分，"断点"为其分界。
用数学术语说，把有理数分成A、B两个集合，A中每个有理数都比B中每个有理数都小，这一对集合就叫做有理数的一个分割，记为｛A，B｝，A叫做分割的下集，B叫做分割的上集。这个分割确定了上、下两集之间的位置。
这个位置可以正好是一个有理点，譬如，A是所有负有理数的集合，B为其余有理数的集合，则B中有最小数0，为断点。因此，我们可以说，如果A有最大数，或者B有最小数，那么分割｛A，B｝，则确定了一个有理数，即A的最大数或B的最小数。
然而，A中没有最大数，B中也没有最小数的情况，在有理数的分割中是很有可能发生的。譬如：所有那些平方大于2的正有理数组成B集，其余的有理数组成A集。这个分割的下集无最大数，上集也无最小数，它留下一个"空隙"。这个空隙反映在直线的情况下，就是那个"断点"不是有理点，那么填补这个空隙只有请一个无理数 来充当这个断点。
从逻辑上讲，有理数的分割要么不会产生空隙，要么会产生空隙，再没其他情况。结论就很清楚了：有理数的一个分割确定一个实数。如果分割不产生空隙，那么它就是一个有理数；如果产生空隙，那么它就是一个无理数，实数正好包括有理数和无理数，实数也是连续的。
这种分割是由德国数学家戴德金（Dedekind，1831－1916）于1872年在《连续性与无理数》一书中提出的，人们称之为"戴德金分割"。戴德金由分割来描述连续，并定义了实数，他无不自豪说："如此平凡之见，道破了连续性的奥秘。"这是辩证法的胜利。然而，这一胜利却来之不易，人类为了研究实数的连续性，可以说从古希腊时代毕达哥拉斯学派发现无理数时就开始了，经历了2000多年啊！
2． 数轴动点趣事
再想象一下，一群人站在一个数轴上，每个人之间间隔1米，以中间那个为人0，两边分别为人1和人-1，以此类推，如图：
然后延伸这条数轴，每个对应左右两边的人都是相同速度。站在中间的人0，会正确地观察到他的"宇宙"正在膨胀，任何在数轴上的人都会慢慢地远离他。
假设数轴延伸速度为每秒1米，人1和人0之间的远离速度就是1米每秒，每个人和自己对应的左右两边的人都是相同速度1米每秒，但是人0和人10 之间就不一样了。
当数轴开始延伸，每个人之间的距离扩展到2米，人0和人10之间却扩展了20米，本来他们之间距离是10米，1秒内扩展到了20米，可以计算相对于人0，人1的速度为10米每秒，而且距离越远这个速度就越快。现在把这个小理论放到宇宙范围，在距离我们150亿光年外的星系，远离我们的速度已经超过光速。
3. 数轴赋予我们一个哲理
发明家爱迪生说："伟大人物最明显的标志，就是他坚强的意志。"作为一种力量、一种精神，意志力是指一个人或一个组织想 要达到某种目标而自觉奋斗、永不退缩的心理状态。它表现为一种承受能力、一种精神气质。一个人意志力的坚强或薄弱，主要是指在承受困难的过程中，这种精神气质能有多大程度的展现。我们可以虚拟一个关于意志力的坐标或数轴，这种精神气质在坐标或数轴的正方向延伸得越长，意志力就越坚强；反之，意志力则越薄弱。
